Isis Alada: ¿QUÉ ES UN FRACTAL?

lunes, 9 de marzo de 2015

¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. Existe una auto-semejanza, una similitud entre sus aspectos.

La geometría trata el estudio de las formas. La geometría clásica (la que describe Euclides) reduce cualquier figura a rectas, planos, circunferencias, etc. Sin embargo esta geometría comenzó a ser cuestionada, y así aparecieron las diferentes geometrías no euclídeas, las que entre otras cosas permitieron a Einstein desarrollar su Teoría de la Relatividad.

El matemático francés Benoït Mandelbrot, en 1967, esboza por primera vez en uno de sus artículos lo que hoy conocemos como geometría fractal y posteriormente en 1975, daría a conocer en su obra Los objetos fractales. El término deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varían aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

La geometría fractal es revolucionaria e innovadora. La principal novedad reside en la introducción de un concepto de dimensión geométrica que no tiene por qué ser un número natural. Así, la geometría euclidiana asigna al punto, la dimensión cero; a la recta, la dimensión uno; dos a las superficies planas; y dimensión tres a las curvas alabeadas. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero, pudiendo ser números irracionales o fracionales. Un ejemplo son las proteínas. Las proteínas son cadenas de aminoácidos, es decir, como un hilo de dimensión 1, sin embargo, están tan enredadas por las cargas eléctricas de dichos aminoácidos que se comportan como un fractal de dimensión cercana a 1.54.

Este nuevo tratamiento de la dimensión permite no sólo hablar de dimensiones fraccionarias, sino que también es posible asignar un número irracional a la dimensión fractal de un conjunto. La noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir qué tan rugosa es una curva.

Por ejemplo, un observador terrestre podría admitir que la esfera es un modelo adecuado para la luna. Sin embargo, para un astronauta que se encuentra sobre ella y puede observar los diferentes cráteres, este no sería un modelo válido. Así es como la geometría fractal ofrece un modelo alternativo al de la geometría clásica basado en las relaciones entre el objeto y sus partes a diferentes escalas, sin necesidad de recurrir a otras formas geométricas exteriores a él. Busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala y esta invarianza nos permitirá definir el concepto de Dimensión Fractal.

Muchas estructuras naturales como el crecimiento de una planta, el sistema venoso, el curso de los ríos, la costa de una región, los copos de nieve, son claros ejemplos de esta expresión fractal. En estos casos una muestra o porción del fractal es representativo del todo.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Tienen una dimensión no entera, la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional (o fraccionario).

Es auto-similar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura. Existen fractales plenamente auto-similares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealización. Ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango de escalas finitas. En otras palabras, los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.

Una de las aplicaciones más útiles de los fractales y de la geometría fractal está en la compresión de imágenes. Es también una de las ideas más controversiales. El concepto básico detrás de la compresión fractal de imágenes es tomar una imagen y expresarla como un Sistema de Funciones Iteradas (repetidas) que describen partes de un fractal que una vez juntas, recrean dicho fractal en su totalidad.

Aplicaciones de los fractales:

Puede parecer que los fractales son meras curiosidades matemáticas sin ninguna utilidad. Sin embargo son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos.

Comunicaciones: Modelado del tráfico en redes.

Informática: Técnicas de compresión (audio y vídeo).

Robótica: Robots Fractales.

Infografía: Paisajes fractales.

Biología: Crecimiento tejidos, organización celular.

Evolución de poblaciones: Depredador-presa.

Matemáticas: Convergencia de métodos numéricos.

Música: Composición musical.

Física: Transiciones de fase en magnetismo.

Química: Agregación por difusión limitada (DLA).

Geología: Análisis de patrones sísmicos, fenómenos de erosión, modelos de formaciones geológicas.

Economía: Análisis bursátil y de mercado.

Hablamos de música fractal cuando un sonido se genera y se repite de acuerdo con patrones de comportamiento espontáneo que se encuentran con mucha frecuencia en la naturaleza. Cabe mencionar que existen programas informáticos capaces de crear composiciones de este tipo sin intervención del ser humano.

Cosmología fractal

La cosmología fractal se refiere al uso de modelos fractales en el contexto de la cosmología física, tanto para la estructura del universo a gran escala como se hace en cosmología observacional o como modelo a muy pequeña escala para la estructura del espacio-tiempo en gravedad cuántica.

Los cosmólogos emplean diversas herramientas en su estudio del universo, tanto aparatos teóricos como observaciones físicas, tomando en consideración el rango completo de escalas desde el reino de lo infinitesimalmente pequeño a la escala de Planck (sistema que mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura), hasta la escala macro del universo conocido.

En cosmología teórica han sido usados los fractales especialmente en el nivel microscópico, mientras que en cosmología observacional se han usado para caracterizar la estructura del Universo a gran escala. Ésta última requiere de observaciones adicionales (en concreto de la radiación micro-ondulada de fondo) y complicadas soluciones matemáticas basadas en la teoría de la relatividad de Einstein, lo que presenta gran complejidad. Entre algunos de sus objetivos, la fractalidad del universo podría determinar con un grado de exactitud sin precedentes, la distribución de los supercúmulos galácticos y en general de toda la materia del universo, incluyendo la oscura.

En cosmología teórica la geometría fractal ha sido usada como un intento de describir la naturaleza irregular que debería tener el espacio-tiempo a muy pequeña escala debido a las flucutaciones cuánticas.

En ese contexto se ha tratado de explicar el colapso del espacio-tiempo que se produce en el interior de los agujeros negros y relacionarlo con la gravedad a nivel protónico. Este modelo podría aportar correcciones al modelo del Big Bang.

Otra área de la cosmología donde se ha usado la geometría fractal, es la postulación de masa imaginaria (entendida como un número imaginario) asociada a la definición de los taquiones (cualquier partícula hipotética capaz de moverse a velocidades súper-lumínicas), teniendo en cuenta la relación entre el plano de los números complejos y la geometría fractal.

Finalmente, se han planteado conjeturas matemáticas en torno a la supuesta naturaleza fractal de la mecánica cuántica, llegando a postularse la exótica idea de sacrificar el tiempo unidimensional mono-direccional por un tiempo bidimensional y fractal.

Universo Fractal

La concepción del Universo como un acontecimiento infinito se enmarca dentro de un paradigma científico que concibe la naturaleza como fractal.

Un modelo teórico que hable sobre la morfología del Universo, debe basarse en el comportamiento sistémico que expresa la matemática; ya que se concibe como conocimiento base, y determina de manera específica como se manifiesta físicamente la naturaleza.

La naturaleza que habitamos consta en términos básicos e ilustrativos de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, pero resulta que todo cuerpo tridimensional no es otra cosa más que una sucesión de infinitos planos bidimensionales, y a su vez un plano bidimensional no es otra cosa más que una sucesión de infinitas líneas rectas, y una línea recta no es otra cosa más que una sucesión de infinitos puntos; y un punto es adimensional, no tiene volumen, ni área, ni longitud.

Por su parte, todos los sucesos de la naturaleza que transcurren en el tiempo no son más que una sucesión de infinitos instantes que se sitúan uno al lado del otro.

En consecuencia, tanto el espacio como el tiempo que habitamos constituyen un continuo, que se sostiene en función de un sistema matemático de carácter infinitesimal; con un sistema que posee una gran cantidad de acontecimientos que son inherentemente infinitos, ya sea por magnitud, contenido, o extensión macrocosmos-microcosmos. Significa que el Universo debe poseer físicamente la misma propiedad de infinitud que posee el sistema matemático que organiza su morfología; ya que este sistema determina la forma específica en la cual se manifiesta físicamente la naturaleza.

La naturaleza posee un claro patrón de divisibilidad, que ha llevado al hombre a internarse progresivamente más y más en el macrocosmos, de forma que: desde el hombre se llegó hasta el planeta Tierra, desde el planeta se llegó hasta el Sistema Solar, desde el Sistema Solar se llegó hasta la Vía Láctea, desde la galaxia se llegó hasta el grupo galáctico y el cúmulo galáctico, desde el grupo galáctico y el cúmulo galáctico se llegó hasta el supercúmulo galáctico.

Por cuanto el comportamiento manifestado por la naturaleza nos lleva a contemplar como factible, la teoría que el Universo es un infinito potencial hacia el macrocosmos, que viene dado por una sucesión infinita de partículas cada vez más grandes; en donde cada nivel de organización de partículas que se descubra, siempre conducirá hacia nuevos niveles de organización de partículas más grandes.

Por contraparte, se ha podido evidenciar científicamente que la naturaleza posee un claro patrón de divisibilidad, que ha llevado al hombre a internarse progresivamente más y más en el microcosmos, de forma que: desde el concepto de materia se llegó hasta las moléculas, desde las moléculas se llegó hasta los átomos, desde los átomos se llegó hasta las partículas subatómicas.

El Universo es un infinito potencial hacia el microcosmos, que viene dado por una sucesión infinita de partículas cada vez más pequeñas; en donde cada nivel de organización de partículas que se descubra, siempre conducirá hacia nuevos niveles de organización de partículas más pequeñas.

De esta forma la realidad manifiesta seria básicamente una minúscula porción del Universo, mientras que todo el gran resto del Universo que no logra experimentar la entidad, correspondería a una realidad inmanifiesta; la cual posee una expresión potencial y/o virtual de magnitud infinita, en donde coexisten simultáneamente infinitas posibilidades de realidades manifiestas, solo que en forma de un campo cuántico no-localizado.

La realidad experimentada y la realidad no experimentada de una entidad, determina que el Universo se exprese en función de un sistema manifestado-inmanifestado, en donde todo cuanto podamos apreciar en la naturaleza, no es más que una diminuta isla que emerge en medio de un vasto océano cuántico de infinitud pura.

El infinito no es un número propiamente tal, sino un complejo concepto que alude a todo aquello sin límite, inabarcable, que no tiene termino o fin, a todo aquello que es inconmensurable.

Aristóteles concibió dos tipos distintos de infinito, el infinito potencial y el infinito actual. El infinito actual hace alusión al infinito como una unidad, como un todo unificado. El infinito potencial hace alusión al infinito como un proceso, como una operación de reiteración o recursividad ilimitada que se prolonga indefinidamente.

Cuando en una noche estrellada miramos en cualquier dirección vemos miles y miles de estrellas que parecen estar dispuestas entre sí de una forma aleatoria, o al menos, eso nos parece a nosotros. Pero nada tan lejos de la realidad, si nos fijamos un poco empezamos a discernir pequeñas agrupaciones de estrellas u otros cuerpos por doquier como si de diferentes estructuras se trataran.

Estudiando la luz que emitían un grupo de galaxias elípticas se consiguió demostrar que todo el cúmulo de Virgo (incluida nuestra galaxia) está moviéndose en dirección de otro gran cúmulo, el de Hidra-Centauro. Y no sólo se mueve nuestro cúmulo en esa dirección sino que el súper-cúmulo de Hidra-Centauro también se mueve a gran velocidad pero en sentido contrario. Se trata pues de una “atracción mutua” entre dos súper-cúmulos galácticos, y que a su vez estos cúmulos se mueven conjuntamente a una ¡velocidad de 600 km/s! (M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)).

Se cree que, al igual que ocurría con la atracción de los cúmulos, una gran masa de materia es la responsable de esta velocidad peculiar. Se trataría de una gran agregación de materia situada más allá del súper-cúmulo de Hidra-Centauro y a una distancia de 150 millones de años luz y de nombre “Gran Atractor”. Contiene una cantidad de materia equivalente al peso de mil billones de veces la masa del Sol, de ahí que nos está precipitando a una velocidad de vértigo en dirección al cúmulo de Hidra-Centauro (expansión del Universo).

Música Fractal

La música fractal es más reciente que los gráficos fractales. Originalmente se escuchaba como simples sonidos repetidos, pero ha ido evolucionando hasta llegar a ser verdaderamente hermosas. Al igual que los gráficos fractales, la música fractal se basa en la repetición de patrones de sonidos a diferentes escalas.

Aunque la música fractal definida como tal es reciente, podemos encontrar patrones fractales en composiciones clásicas como las de Beethoven, Bach,Mozart, Harlan Brothers y varias piezas musicales de otros compositores. De hecho, la música tecno utiliza mucho la repetición a diferentes escalas de un mismo patrón, actualmente muchos compositores empiezan a apoyarse en programas de creación de música fractal como base de algunas composiciones, sin embargo, siempre es necesario el toque que solamente un humano es capaz de dar todavía para que resulte agradable, ya que esta enlaza nuestra emociones.

Los fractales también han cruzado la frontera entre la ciencia y el arte. Los valores numéricos que se asignan a los parámetros que definen un fractal también pueden convertirse a notas musicales para generar composiciones, aprovechando las propiedades de la recursividad, la iteración y la aritmética compleja. Una composición fractal podría comenzar, por ejemplo, con una sola voz, tocando una misma melodía, que posteriormente se separa en dos variaciones inter-conectadas del mismo tema. Cada uno de estos temas se subdivide, dando lugar a una armonía en cuatro partes. Después, la melodía seguiría descomponiéndose hasta una iteración, de modo que todo el sonido resulte completamente caótico.